Nhà toán 99 tuổi phá giải bí ẩn hơn trăm năm của cấu trúc bím tóc toán học

Đầu thế kỷ 20, các nhà toán học đã phát hiện rằng các nút thắt phức tạp có thể được tái diễn giải dưới dạng cấu trúc bím tóc - một tổ hợp các sợi quấn lại theo nhiều cách khác nhau. Năm 1930, nhà toán học người Đức Werner Burau đã đưa ra một mô hình chuyển đổi các cấu trúc bím tóc thành các đối tượng đại số gọi là ma trận, giúp đơn giản hóa việc thao tác toán học với chúng. Tuy nhiên, câu hỏi đặt ra là liệu bản chuyển đổi này có trung thực hay không, tức là từng ma trận có tương ứng duy nhất với một bím tóc hay không? Nếu không, các ma trận này được gọi là "không trung thực" (unfaithful), gây hoài nghi về độ tin cậy của phương pháp.

Vào khoảng thập niên 1960, nhà toán học Columbia University Joan Birman đã làm sống lại vấn đề này và giúp nó trở nên phổ biến hơn trong cộng đồng chuyên môn. Bà đã phát hiện ra rằng biểu diễn của Burau là trung thực với các bím tóc 3 sợi, trong khi với bím tóc 5 hoặc nhiều hơn thì biểu diễn trở nên không trung thực. Tuy nhiên, trường hợp tối quan trọng là bím tóc 4 sợi vẫn còn bỏ ngỏ, gây tranh cãi gay gắt về tính trung thực của biểu diễn tương ứng.

Vào thập niên 1970, Birman đã xuất bản cuốn sách nền tảng "Braids, Links, and Mapping Class Groups" trong đó bà quy tụ vấn đề vào việc khám phá các quan hệ giữa một nhóm ma trận 3x3 đặc biệt, làm sống lại sự quan tâm đối với ngành topologie về bím tóc vốn bị xem là ít quan trọng trước đó.

Ban đầu, các trường hợp bím tóc với một hoặc hai sợi được chứng minh là trung thực một cách đơn giản. Tiếp đó, nhóm 3 sợi cũng được xác nhận là trung thực sau nghiên cứu của một số nhà toán học khác. Tuy nhiên, những nghiên cứu sau này, đặc biệt dựa trên phương pháp hình học do nhà toán John Moody tiên phong, khẳng định các bím tóc với năm sợi hay nhiều hơn sẽ có biểu diễn không trung thực hoàn toàn.

Vấn đề duy nhất còn tồn tại là phân loại trường hợp bím tóc 4 sợi. Nhiều nhà nghiên cứu thậm chí đã cố gắng áp dụng cách tiếp cận của Birman và Moody để chứng minh tính không trung thực của nó, nhưng đều không thành công.

Vào năm 2026, Joan Birman đã cùng với hai cộng sự Tara Brendle từ University of Glasgow và Vasudha Bharathram từ Princeton University giải quyết thành công bí ẩn này. Họ xác nhận rằng biểu diễn ma trận của bím tóc 4 sợi vẫn giữ được tính trung thực dù có những trường hợp phức tạp hơn nhiều so với nhóm 3 sợi.

Phương pháp nghiên cứu của nhóm dựa trên hình ảnh các điểm đại diện cho các sợi trên mặt phẳng, cùng các vòng lặp bao quanh những điểm này nhằm mô tả tương tác giữa các sợi. Các khu vực giới hạn bởi vòng lặp cho phép họ tính toán các ma trận Burau. Khi số điểm tăng lên, các kiểu vòng lặp và đĩa liên quan cũng tăng nhanh làm nhiệm vụ phân biệt các ma trận trở nên khó khăn hơn.

Nhóm phát hiện rằng đối với bím tóc 3 sợi, khả năng phân biệt ma trận rất cao và do đó biểu diễn là trung thực. Đối với bím tóc 4 sợi, mặc dù có một số tình huống phức tạp nhưng họ đã xử lý được để đảm bảo tính trung thực. Ngược lại, đối với năm sợi trở lên, sự đa dạng của các đĩa tạo ra nhiều tình huống không thể phân biệt chính xác, dẫn đến tính không trung thực của biểu diễn.

Phát hiện này được đánh giá là một bước đột phá đáng kể trong lĩnh vực lý thuyết nhóm và lý thuyết nút, đồng thời mở ra nhiều hướng nghiên cứu tiềm năng liên quan đến các lĩnh vực ứng dụng bao gồm các cấu trúc protein và lý thuyết dây. Nhà toán Yang-Hui He của London Institute for Mathematical Sciences nhận định đây là một trong những câu chuyện thú vị và tiến bộ lớn trong vài năm trở lại đây.

Dù là công trình giải mã câu đố lịch sử, nhóm nghiên cứu không đặt nặng các áp dụng thực tiễn mà xem đây như sự theo đuổi khoa học thuần túy. Chủ đề về bím tóc cũng có liên quan đến sở thích cá nhân của Birman, người từng mê đan len từ nhỏ, nhưng chính toán học đã thắp sáng thêm vẻ đẹp tiềm ẩn trong sở thích này.

Nhóm tác giả không khỏi ngạc nhiên trước sự chú ý mà nghiên cứu của họ nhận được, cho thấy sức hấp dẫn của các vấn đề cơ bản trong toán học dù trải qua hàng thập kỷ chưa có lời giải.

Những phát hiện của Birman, Brendle và Bharathram chính thức khép lại gần một thế kỷ tranh luận về tính trung thực của biểu diễn Burau đối với bím tóc 4 sợi, đánh dấu sự thành công vang dội trong lịch sử toán học.

Bài viết được biên tập với sự hỗ trợ của công cụ trí tuệ nhân tạo (AI), tổng hợp từ các nguồn tin dẫn bên dưới và đã qua kiểm duyệt của toà soạn Quang Minh Việt Nam.